Objetivos:
Objetivos del Espacio Curricular.
- Identificar problemas que requieren modelos de análisis multivariable, en los contenidos de cada carrera.
- Conocer problemas que requieren modelos de análisis multivariable, en los contenidos de cada carrera.
- Conocer y aplicar análisis diferencial e integral multivariable así como ecuaciones diferenciales.
- Conceptuar e interrelacionar los contenidos básicos desde lo numérico, lo geométrico y lo analítico, hacia su aplicación.
- Ejercitar la creatividad, la crítica, la intuición junto a la observación y razonamiento, para encarar y resolver los problemas .
- Promover actitudes, criterios y metodologías de autoaprendizaje.
- Manejar los símbolos y terminología específicos como lenguaje de interpretación y formulación cuali y cuantitativo de la formación ingenieril.
- Integrar los principios e instrumentos propios de la asignatura a las necesidades de las otras que completan su formación de grado.
- Valorar e incorporar la informática como soporte amplificador de la comprensión conceptual y de la capacidad de cálculo.
- Valorar la capacidad de modelación matemática.
- Abordar nociones preliminares de Cálculo Numérico relacionadas a los contenidos de la asignatura.
Contenidos mínimos:
UNIDAD TEMÁTICA Nº I INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS EN DOS O MÁS VARIABLES.
Tema Nº 1:
INTRODUCCION a los objetivos y contenidos. El lenguaje y lógica matemáticos con razonamiento analítico y aplicado, representación geométrica y aproximación numérica. Símbolos y terminología específicos. Introducción a los campos escalares y vectoriales: los espacios métricos y la generalización y composición de relaciones funcionales. Representación gráfica de tres dimensiones en coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas y su representación vectorial.
UNIDAD TEMÁTICA Nº II CÁLCULO DIFERENCIAL EN DOS O MÁS VARIABLES.
Tema Nº 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD: Campo escalar con dominio en dos dimensiones. Su análisis y representación, dominios y trazas. Funciones de tres variables independientes. Curvas y superficies de nivel. Límite funcional doble o simultáneo, límites sucesivos y límites direccionales: definiciones, interpretación, propiedades y aplicación. Continuidad y tipos de discontinuidad.
Tema Nº 3:
DERIVADAS PARCIALES Y GRADIENTES: Derivadas parciales en dos dimensiones: definición, interpretación física y geométrica. Derivación de funciones compuestas, Regla de la cadena. Derivadas parciales sucesivas. Derivada direccional y gradiente: definición, interpretación y cálculo. Alternativas de aplicación.
Tema Nº 4:
DIFERENCIALES Y ANÁLISIS DE EXTREMOS: Función diferenciable y diferencial total. Aplicaciones. Plano tangente y recta normal. Diferenciales sucesivos. Diferencial total de una función compuesta. Funciones definidas implícitamente: condición de existencia, derivabilidad. Puntos críticos y extremos relativos de un campo escalar. Extremos absolutos. Fórmula de Taylor. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange. Alternativas de aplicación.
N° III CÁLCULO INTEGRAL EN DOS O MÁS VARIABLES.
Tema Nº 5:
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: Integral Doble: recinto, partición, norma e integrando: definición y existencia. Interpretación geométrica. Evaluación: integrales reiteradas o sucesivas. Integración sobre regiones no rectangulares. Aplicaciones de la integral doble. Integral triple: definición, interpretación y cálculo. Aplicaciones. Coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de coordenadas para integrales doble y triple.
Tema Nº 6:
ANÁLISIS VECTORIAL: El análisis matemático de funciones y campos vectoriales: introducción conceptual a la derivación e integración vectorial y sus aplicaciones. Versores principales y planos que forman.
Representación vectorial de curvas y superficies. Operadores: gradiente, rotacional, divergencia y laplaciano; matriz jacobiana: definiciones, interpretación y aplicación. Campos conservativos.
TEMA N° 7
INTEGRALES CURVILÍNEA Y DE SUPERFICIE: Integral curvilínea:
Definición, existencia, cálculo, interpretación gráfica y de aplicación. Propiedades, notación diferencial y notación vectorial. Teorema de Green en el plano. Teorema fundamental de las integrales de línea. Integral sobre una curva alabeada. Aplicaciones. Integral de superficie: Definición y concepto de cálculo. Interpretación como integral de flujo. Interpretación de los teoremas de la divergencia y de Stokes.
N° IV ECUACIONES DIFERENCIALES.
Tema Nº 8:
INTRODUCCION: representación de fenómenos o de un haz de curvas y las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos. Tipos de Ecuaciones Diferenciales.: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden y linealidad .Concepto de Existencia y Unicidad de solución. Solución de Ecuaciones Diferenciales: tipos de solución. Campos de Direcciones. Trayectorias ortogonales. Problemas de valor inicial y de valor en frontera. Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 1er Orden: por separación de variables, por diferenciales exactas. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales.
Tema Nº 9: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Definición. Ecuaciones lineales. Concepto de existencia e unicidad de solución. Solución general e independencia lineal de las soluciones, wronskiano.
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL de 2º Orden a coeficientes constantes incompleta. Casos. Resolución de la ecuación completa: método de los coeficientes indeterminados y método de la variación de parámetros. Introducción conceptual a los sistemas de ecuaciones diferenciales, a las ecuaciones a derivadas parciales y a las Transformadas de Laplace.
N° V INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO.
Tema 10: CÁLCULO NUMÉRICO:
Aproximaciones, errores y su estimación. Introducción a los métodos iterativos para determinar raíces de ecuaciones. Concepto de análisis de convergencia, de estabilidad. Aproximación al cálculo de ecuaciones diferenciales: método de Euler.
Equipo de cátedra:
- MSc. Ing. Carlos A. Carullo, Profesor Titular.
- Lic. Andrea Ridolfi, Jefe de Trabajos Prácticos.
- Ing. Verónica Videla, Docente Auxiliar de Primera.